Find roots of polynomial $$ p(x) = 80x^7-2030x^6+21600x^5-124500x^4+417960x^3-812430x^2+839800x-352000 $$

The roots of polynomial $ p(x) $ are:

$$ \begin{aligned}x_1 &= 4\\[1 em]x_2 &= 5\\[1 em]x_3 &= 5\\[1 em]x_4 &= 1.2839\\[1 em]x_5 &= 2.3276\\[1 em]x_6 &= 3.2951\\[1 em]x_7 &= 4.4685 \end{aligned} $$

Step 1:

Use rational root test to find out that the $ \color{blue}{ x = 4 } $ is a root of polynomial $ 80x^7-2030x^6+21600x^5-124500x^4+417960x^3-812430x^2+839800x-352000 $.

The Rational Root Theorem tells us that if the polynomial has a rational zero then it must be a fraction $ \dfrac{ \color{blue}{p}}{ \color{red}{q} } $, where $ p $ is a factor of the constant term and $ q $ is a factor of the leading coefficient.

The constant term is $ \color{blue}{ 352000 } $, with factors of 1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 16, 20, 22, 25, 32, 40, 44, 50, 55, 64, 80, 88, 100, 110, 125, 128, 160, 176, 200, 220, 250, 256, 275, 320, 352, 400, 440, 500, 550, 640, 704, 800, 880, 1000, 1100, 1280, 1375, 1408, 1600, 1760, 2000, 2200, 2750, 2816, 3200, 3520, 4000, 4400, 5500, 6400, 7040, 8000, 8800, 11000, 14080, 16000, 17600, 22000, 32000, 35200, 44000, 70400, 88000, 176000 and 352000.

The leading coefficient is $ \color{red}{ 80 }$, with factors of 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40 and 80.

The POSSIBLE zeroes are:

$$ \begin{aligned} \dfrac{\color{blue}{p}}{\color{red}{q}} = & \dfrac{ \text{ factors of 352000 }}{\text{ factors of 80 }} = \pm \dfrac{\text{ ( 1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 16, 20, 22, 25, 32, 40, 44, 50, 55, 64, 80, 88, 100, 110, 125, 128, 160, 176, 200, 220, 250, 256, 275, 320, 352, 400, 440, 500, 550, 640, 704, 800, 880, 1000, 1100, 1280, 1375, 1408, 1600, 1760, 2000, 2200, 2750, 2816, 3200, 3520, 4000, 4400, 5500, 6400, 7040, 8000, 8800, 11000, 14080, 16000, 17600, 22000, 32000, 35200, 44000, 70400, 88000, 176000, 352000 ) }}{\text{ ( 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80 ) }} = \\[1 em] = & \pm \frac{ 1}{ 1} \pm \frac{ 2}{ 1} \pm \frac{ 4}{ 1} \pm \frac{ 5}{ 1} \pm \frac{ 8}{ 1} \pm \frac{ 10}{ 1} \pm \frac{ 11}{ 1} \pm \frac{ 16}{ 1} \pm \frac{ 20}{ 1} \pm \frac{ 22}{ 1} \pm \frac{ 25}{ 1} \pm \frac{ 32}{ 1} \pm \frac{ 40}{ 1} \pm \frac{ 44}{ 1} \pm \frac{ 50}{ 1} \pm \frac{ 55}{ 1} \pm \frac{ 64}{ 1} \pm \frac{ 80}{ 1} \pm \frac{ 88}{ 1} \pm \frac{ 100}{ 1} \pm \frac{ 110}{ 1} \pm \frac{ 125}{ 1} \pm \frac{ 128}{ 1} \pm \frac{ 160}{ 1} \pm \frac{ 176}{ 1} \pm \frac{ 200}{ 1} \pm \frac{ 220}{ 1} \pm \frac{ 250}{ 1} \pm \frac{ 256}{ 1} \pm \frac{ 275}{ 1} \pm \frac{ 320}{ 1} \pm \frac{ 352}{ 1} \pm \frac{ 400}{ 1} \pm \frac{ 440}{ 1} \pm \frac{ 500}{ 1} \pm \frac{ 550}{ 1} \pm \frac{ 640}{ 1} \pm \frac{ 704}{ 1} \pm \frac{ 800}{ 1} \pm \frac{ 880}{ 1} \pm \frac{ 1000}{ 1} \pm \frac{ 1100}{ 1} \pm \frac{ 1280}{ 1} \pm \frac{ 1375}{ 1} \pm \frac{ 1408}{ 1} \pm \frac{ 1600}{ 1} \pm \frac{ 1760}{ 1} \pm \frac{ 2000}{ 1} \pm \frac{ 2200}{ 1} \pm \frac{ 2750}{ 1} \pm \frac{ 2816}{ 1} \pm \frac{ 3200}{ 1} \pm \frac{ 3520}{ 1} \pm \frac{ 4000}{ 1} \pm \frac{ 4400}{ 1} \pm \frac{ 5500}{ 1} \pm \frac{ 6400}{ 1} \pm \frac{ 7040}{ 1} \pm \frac{ 8000}{ 1} \pm \frac{ 8800}{ 1} \pm \frac{ 11000}{ 1} \pm \frac{ 14080}{ 1} \pm \frac{ 16000}{ 1} \pm \frac{ 17600}{ 1} \pm \frac{ 22000}{ 1} \pm \frac{ 32000}{ 1} \pm \frac{ 35200}{ 1} \pm \frac{ 44000}{ 1} \pm \frac{ 70400}{ 1} \pm \frac{ 88000}{ 1} \pm \frac{ 176000}{ 1} \pm \frac{ 352000}{ 1} ~~ \pm \frac{ 1}{ 2} \pm \frac{ 2}{ 2} \pm \frac{ 4}{ 2} \pm \frac{ 5}{ 2} \pm \frac{ 8}{ 2} \pm \frac{ 10}{ 2} \pm \frac{ 11}{ 2} \pm \frac{ 16}{ 2} \pm \frac{ 20}{ 2} \pm \frac{ 22}{ 2} \pm \frac{ 25}{ 2} \pm \frac{ 32}{ 2} \pm \frac{ 40}{ 2} \pm \frac{ 44}{ 2} \pm \frac{ 50}{ 2} \pm \frac{ 55}{ 2} \pm \frac{ 64}{ 2} \pm \frac{ 80}{ 2} \pm \frac{ 88}{ 2} \pm \frac{ 100}{ 2} \pm \frac{ 110}{ 2} \pm \frac{ 125}{ 2} \pm \frac{ 128}{ 2} \pm \frac{ 160}{ 2} \pm \frac{ 176}{ 2} \pm \frac{ 200}{ 2} \pm \frac{ 220}{ 2} \pm \frac{ 250}{ 2} \pm \frac{ 256}{ 2} \pm \frac{ 275}{ 2} \pm \frac{ 320}{ 2} \pm \frac{ 352}{ 2} \pm \frac{ 400}{ 2} \pm \frac{ 440}{ 2} \pm \frac{ 500}{ 2} \pm \frac{ 550}{ 2} \pm \frac{ 640}{ 2} \pm \frac{ 704}{ 2} \pm \frac{ 800}{ 2} \pm \frac{ 880}{ 2} \pm \frac{ 1000}{ 2} \pm \frac{ 1100}{ 2} \pm \frac{ 1280}{ 2} \pm \frac{ 1375}{ 2} \pm \frac{ 1408}{ 2} \pm \frac{ 1600}{ 2} \pm \frac{ 1760}{ 2} \pm \frac{ 2000}{ 2} \pm \frac{ 2200}{ 2} \pm \frac{ 2750}{ 2} \pm \frac{ 2816}{ 2} \pm \frac{ 3200}{ 2} \pm \frac{ 3520}{ 2} \pm \frac{ 4000}{ 2} \pm \frac{ 4400}{ 2} \pm \frac{ 5500}{ 2} \pm \frac{ 6400}{ 2} \pm \frac{ 7040}{ 2} \pm \frac{ 8000}{ 2} \pm \frac{ 8800}{ 2} \pm \frac{ 11000}{ 2} \pm \frac{ 14080}{ 2} \pm \frac{ 16000}{ 2} \pm \frac{ 17600}{ 2} \pm \frac{ 22000}{ 2} \pm \frac{ 32000}{ 2} \pm \frac{ 35200}{ 2} \pm \frac{ 44000}{ 2} \pm \frac{ 70400}{ 2} \pm \frac{ 88000}{ 2} \pm \frac{ 176000}{ 2} \pm \frac{ 352000}{ 2} ~~ \pm \frac{ 1}{ 4} \pm \frac{ 2}{ 4} \pm \frac{ 4}{ 4} \pm \frac{ 5}{ 4} \pm \frac{ 8}{ 4} \pm \frac{ 10}{ 4} \pm \frac{ 11}{ 4} \pm \frac{ 16}{ 4} \pm \frac{ 20}{ 4} \pm \frac{ 22}{ 4} \pm \frac{ 25}{ 4} \pm \frac{ 32}{ 4} \pm \frac{ 40}{ 4} \pm \frac{ 44}{ 4} \pm \frac{ 50}{ 4} \pm \frac{ 55}{ 4} \pm \frac{ 64}{ 4} \pm \frac{ 80}{ 4} \pm \frac{ 88}{ 4} \pm \frac{ 100}{ 4} \pm \frac{ 110}{ 4} \pm \frac{ 125}{ 4} \pm \frac{ 128}{ 4} \pm \frac{ 160}{ 4} \pm \frac{ 176}{ 4} \pm \frac{ 200}{ 4} \pm \frac{ 220}{ 4} \pm \frac{ 250}{ 4} \pm \frac{ 256}{ 4} \pm \frac{ 275}{ 4} \pm \frac{ 320}{ 4} \pm \frac{ 352}{ 4} \pm \frac{ 400}{ 4} \pm \frac{ 440}{ 4} \pm \frac{ 500}{ 4} \pm \frac{ 550}{ 4} \pm \frac{ 640}{ 4} \pm \frac{ 704}{ 4} \pm \frac{ 800}{ 4} \pm \frac{ 880}{ 4} \pm \frac{ 1000}{ 4} \pm \frac{ 1100}{ 4} \pm \frac{ 1280}{ 4} \pm \frac{ 1375}{ 4} \pm \frac{ 1408}{ 4} \pm \frac{ 1600}{ 4} \pm \frac{ 1760}{ 4} \pm \frac{ 2000}{ 4} \pm \frac{ 2200}{ 4} \pm \frac{ 2750}{ 4} \pm \frac{ 2816}{ 4} \pm \frac{ 3200}{ 4} \pm \frac{ 3520}{ 4} \pm \frac{ 4000}{ 4} \pm \frac{ 4400}{ 4} \pm \frac{ 5500}{ 4} \pm \frac{ 6400}{ 4} \pm \frac{ 7040}{ 4} \pm \frac{ 8000}{ 4} \pm \frac{ 8800}{ 4} \pm \frac{ 11000}{ 4} \pm \frac{ 14080}{ 4} \pm \frac{ 16000}{ 4} \pm \frac{ 17600}{ 4} \pm \frac{ 22000}{ 4} \pm \frac{ 32000}{ 4} \pm \frac{ 35200}{ 4} \pm \frac{ 44000}{ 4} \pm \frac{ 70400}{ 4} \pm \frac{ 88000}{ 4} \pm \frac{ 176000}{ 4} \pm \frac{ 352000}{ 4} ~~ \pm \frac{ 1}{ 5} \pm \frac{ 2}{ 5} \pm \frac{ 4}{ 5} \pm \frac{ 5}{ 5} \pm \frac{ 8}{ 5} \pm \frac{ 10}{ 5} \pm \frac{ 11}{ 5} \pm \frac{ 16}{ 5} \pm \frac{ 20}{ 5} \pm \frac{ 22}{ 5} \pm \frac{ 25}{ 5} \pm \frac{ 32}{ 5} \pm \frac{ 40}{ 5} \pm \frac{ 44}{ 5} \pm \frac{ 50}{ 5} \pm \frac{ 55}{ 5} \pm \frac{ 64}{ 5} \pm \frac{ 80}{ 5} \pm \frac{ 88}{ 5} \pm \frac{ 100}{ 5} \pm \frac{ 110}{ 5} \pm \frac{ 125}{ 5} \pm \frac{ 128}{ 5} \pm \frac{ 160}{ 5} \pm \frac{ 176}{ 5} \pm \frac{ 200}{ 5} \pm \frac{ 220}{ 5} \pm \frac{ 250}{ 5} \pm \frac{ 256}{ 5} \pm \frac{ 275}{ 5} \pm \frac{ 320}{ 5} \pm \frac{ 352}{ 5} \pm \frac{ 400}{ 5} \pm \frac{ 440}{ 5} \pm \frac{ 500}{ 5} \pm \frac{ 550}{ 5} \pm \frac{ 640}{ 5} \pm \frac{ 704}{ 5} \pm \frac{ 800}{ 5} \pm \frac{ 880}{ 5} \pm \frac{ 1000}{ 5} \pm \frac{ 1100}{ 5} \pm \frac{ 1280}{ 5} \pm \frac{ 1375}{ 5} \pm \frac{ 1408}{ 5} \pm \frac{ 1600}{ 5} \pm \frac{ 1760}{ 5} \pm \frac{ 2000}{ 5} \pm \frac{ 2200}{ 5} \pm \frac{ 2750}{ 5} \pm \frac{ 2816}{ 5} \pm \frac{ 3200}{ 5} \pm \frac{ 3520}{ 5} \pm \frac{ 4000}{ 5} \pm \frac{ 4400}{ 5} \pm \frac{ 5500}{ 5} \pm \frac{ 6400}{ 5} \pm \frac{ 7040}{ 5} \pm \frac{ 8000}{ 5} \pm \frac{ 8800}{ 5} \pm \frac{ 11000}{ 5} \pm \frac{ 14080}{ 5} \pm \frac{ 16000}{ 5} \pm \frac{ 17600}{ 5} \pm \frac{ 22000}{ 5} \pm \frac{ 32000}{ 5} \pm \frac{ 35200}{ 5} \pm \frac{ 44000}{ 5} \pm \frac{ 70400}{ 5} \pm \frac{ 88000}{ 5} \pm \frac{ 176000}{ 5} \pm \frac{ 352000}{ 5} ~~ \pm \frac{ 1}{ 8} \pm \frac{ 2}{ 8} \pm \frac{ 4}{ 8} \pm \frac{ 5}{ 8} \pm \frac{ 8}{ 8} \pm \frac{ 10}{ 8} \pm \frac{ 11}{ 8} \pm \frac{ 16}{ 8} \pm \frac{ 20}{ 8} \pm \frac{ 22}{ 8} \pm \frac{ 25}{ 8} \pm \frac{ 32}{ 8} \pm \frac{ 40}{ 8} \pm \frac{ 44}{ 8} \pm \frac{ 50}{ 8} \pm \frac{ 55}{ 8} \pm \frac{ 64}{ 8} \pm \frac{ 80}{ 8} \pm \frac{ 88}{ 8} \pm \frac{ 100}{ 8} \pm \frac{ 110}{ 8} \pm \frac{ 125}{ 8} \pm \frac{ 128}{ 8} \pm \frac{ 160}{ 8} \pm \frac{ 176}{ 8} \pm \frac{ 200}{ 8} \pm \frac{ 220}{ 8} \pm \frac{ 250}{ 8} \pm \frac{ 256}{ 8} \pm \frac{ 275}{ 8} \pm \frac{ 320}{ 8} \pm \frac{ 352}{ 8} \pm \frac{ 400}{ 8} \pm \frac{ 440}{ 8} \pm \frac{ 500}{ 8} \pm \frac{ 550}{ 8} \pm \frac{ 640}{ 8} \pm \frac{ 704}{ 8} \pm \frac{ 800}{ 8} \pm \frac{ 880}{ 8} \pm \frac{ 1000}{ 8} \pm \frac{ 1100}{ 8} \pm \frac{ 1280}{ 8} \pm \frac{ 1375}{ 8} \pm \frac{ 1408}{ 8} \pm \frac{ 1600}{ 8} \pm \frac{ 1760}{ 8} \pm \frac{ 2000}{ 8} \pm \frac{ 2200}{ 8} \pm \frac{ 2750}{ 8} \pm \frac{ 2816}{ 8} \pm \frac{ 3200}{ 8} \pm \frac{ 3520}{ 8} \pm \frac{ 4000}{ 8} \pm \frac{ 4400}{ 8} \pm \frac{ 5500}{ 8} \pm \frac{ 6400}{ 8} \pm \frac{ 7040}{ 8} \pm \frac{ 8000}{ 8} \pm \frac{ 8800}{ 8} \pm \frac{ 11000}{ 8} \pm \frac{ 14080}{ 8} \pm \frac{ 16000}{ 8} \pm \frac{ 17600}{ 8} \pm \frac{ 22000}{ 8} \pm \frac{ 32000}{ 8} \pm \frac{ 35200}{ 8} \pm \frac{ 44000}{ 8} \pm \frac{ 70400}{ 8} \pm \frac{ 88000}{ 8} \pm \frac{ 176000}{ 8} \pm \frac{ 352000}{ 8} ~~ \pm \frac{ 1}{ 10} \pm \frac{ 2}{ 10} \pm \frac{ 4}{ 10} \pm \frac{ 5}{ 10} \pm \frac{ 8}{ 10} \pm \frac{ 10}{ 10} \pm \frac{ 11}{ 10} \pm \frac{ 16}{ 10} \pm \frac{ 20}{ 10} \pm \frac{ 22}{ 10} \pm \frac{ 25}{ 10} \pm \frac{ 32}{ 10} \pm \frac{ 40}{ 10} \pm \frac{ 44}{ 10} \pm \frac{ 50}{ 10} \pm \frac{ 55}{ 10} \pm \frac{ 64}{ 10} \pm \frac{ 80}{ 10} \pm \frac{ 88}{ 10} \pm \frac{ 100}{ 10} \pm \frac{ 110}{ 10} \pm \frac{ 125}{ 10} \pm \frac{ 128}{ 10} \pm \frac{ 160}{ 10} \pm \frac{ 176}{ 10} \pm \frac{ 200}{ 10} \pm \frac{ 220}{ 10} \pm \frac{ 250}{ 10} \pm \frac{ 256}{ 10} \pm \frac{ 275}{ 10} \pm \frac{ 320}{ 10} \pm \frac{ 352}{ 10} \pm \frac{ 400}{ 10} \pm \frac{ 440}{ 10} \pm \frac{ 500}{ 10} \pm \frac{ 550}{ 10} \pm \frac{ 640}{ 10} \pm \frac{ 704}{ 10} \pm \frac{ 800}{ 10} \pm \frac{ 880}{ 10} \pm \frac{ 1000}{ 10} \pm \frac{ 1100}{ 10} \pm \frac{ 1280}{ 10} \pm \frac{ 1375}{ 10} \pm \frac{ 1408}{ 10} \pm \frac{ 1600}{ 10} \pm \frac{ 1760}{ 10} \pm \frac{ 2000}{ 10} \pm \frac{ 2200}{ 10} \pm \frac{ 2750}{ 10} \pm \frac{ 2816}{ 10} \pm \frac{ 3200}{ 10} \pm \frac{ 3520}{ 10} \pm \frac{ 4000}{ 10} \pm \frac{ 4400}{ 10} \pm \frac{ 5500}{ 10} \pm \frac{ 6400}{ 10} \pm \frac{ 7040}{ 10} \pm \frac{ 8000}{ 10} \pm \frac{ 8800}{ 10} \pm \frac{ 11000}{ 10} \pm \frac{ 14080}{ 10} \pm \frac{ 16000}{ 10} \pm \frac{ 17600}{ 10} \pm \frac{ 22000}{ 10} \pm \frac{ 32000}{ 10} \pm \frac{ 35200}{ 10} \pm \frac{ 44000}{ 10} \pm \frac{ 70400}{ 10} \pm \frac{ 88000}{ 10} \pm \frac{ 176000}{ 10} \pm \frac{ 352000}{ 10} ~~ \pm \frac{ 1}{ 16} \pm \frac{ 2}{ 16} \pm \frac{ 4}{ 16} \pm \frac{ 5}{ 16} \pm \frac{ 8}{ 16} \pm \frac{ 10}{ 16} \pm \frac{ 11}{ 16} \pm \frac{ 16}{ 16} \pm \frac{ 20}{ 16} \pm \frac{ 22}{ 16} \pm \frac{ 25}{ 16} \pm \frac{ 32}{ 16} \pm \frac{ 40}{ 16} \pm \frac{ 44}{ 16} \pm \frac{ 50}{ 16} \pm \frac{ 55}{ 16} \pm \frac{ 64}{ 16} \pm \frac{ 80}{ 16} \pm \frac{ 88}{ 16} \pm \frac{ 100}{ 16} \pm \frac{ 110}{ 16} \pm \frac{ 125}{ 16} \pm \frac{ 128}{ 16} \pm \frac{ 160}{ 16} \pm \frac{ 176}{ 16} \pm \frac{ 200}{ 16} \pm \frac{ 220}{ 16} \pm \frac{ 250}{ 16} \pm \frac{ 256}{ 16} \pm \frac{ 275}{ 16} \pm \frac{ 320}{ 16} \pm \frac{ 352}{ 16} \pm \frac{ 400}{ 16} \pm \frac{ 440}{ 16} \pm \frac{ 500}{ 16} \pm \frac{ 550}{ 16} \pm \frac{ 640}{ 16} \pm \frac{ 704}{ 16} \pm \frac{ 800}{ 16} \pm \frac{ 880}{ 16} \pm \frac{ 1000}{ 16} \pm \frac{ 1100}{ 16} \pm \frac{ 1280}{ 16} \pm \frac{ 1375}{ 16} \pm \frac{ 1408}{ 16} \pm \frac{ 1600}{ 16} \pm \frac{ 1760}{ 16} \pm \frac{ 2000}{ 16} \pm \frac{ 2200}{ 16} \pm \frac{ 2750}{ 16} \pm \frac{ 2816}{ 16} \pm \frac{ 3200}{ 16} \pm \frac{ 3520}{ 16} \pm \frac{ 4000}{ 16} \pm \frac{ 4400}{ 16} \pm \frac{ 5500}{ 16} \pm \frac{ 6400}{ 16} \pm \frac{ 7040}{ 16} \pm \frac{ 8000}{ 16} \pm \frac{ 8800}{ 16} \pm \frac{ 11000}{ 16} \pm \frac{ 14080}{ 16} \pm \frac{ 16000}{ 16} \pm \frac{ 17600}{ 16} \pm \frac{ 22000}{ 16} \pm \frac{ 32000}{ 16} \pm \frac{ 35200}{ 16} \pm \frac{ 44000}{ 16} \pm \frac{ 70400}{ 16} \pm \frac{ 88000}{ 16} \pm \frac{ 176000}{ 16} \pm \frac{ 352000}{ 16} ~~ \pm \frac{ 1}{ 20} \pm \frac{ 2}{ 20} \pm \frac{ 4}{ 20} \pm \frac{ 5}{ 20} \pm \frac{ 8}{ 20} \pm \frac{ 10}{ 20} \pm \frac{ 11}{ 20} \pm \frac{ 16}{ 20} \pm \frac{ 20}{ 20} \pm \frac{ 22}{ 20} \pm \frac{ 25}{ 20} \pm \frac{ 32}{ 20} \pm \frac{ 40}{ 20} \pm \frac{ 44}{ 20} \pm \frac{ 50}{ 20} \pm \frac{ 55}{ 20} \pm \frac{ 64}{ 20} \pm \frac{ 80}{ 20} \pm \frac{ 88}{ 20} \pm \frac{ 100}{ 20} \pm \frac{ 110}{ 20} \pm \frac{ 125}{ 20} \pm \frac{ 128}{ 20} \pm \frac{ 160}{ 20} \pm \frac{ 176}{ 20} \pm \frac{ 200}{ 20} \pm \frac{ 220}{ 20} \pm \frac{ 250}{ 20} \pm \frac{ 256}{ 20} \pm \frac{ 275}{ 20} \pm \frac{ 320}{ 20} \pm \frac{ 352}{ 20} \pm \frac{ 400}{ 20} \pm \frac{ 440}{ 20} \pm \frac{ 500}{ 20} \pm \frac{ 550}{ 20} \pm \frac{ 640}{ 20} \pm \frac{ 704}{ 20} \pm \frac{ 800}{ 20} \pm \frac{ 880}{ 20} \pm \frac{ 1000}{ 20} \pm \frac{ 1100}{ 20} \pm \frac{ 1280}{ 20} \pm \frac{ 1375}{ 20} \pm \frac{ 1408}{ 20} \pm \frac{ 1600}{ 20} \pm \frac{ 1760}{ 20} \pm \frac{ 2000}{ 20} \pm \frac{ 2200}{ 20} \pm \frac{ 2750}{ 20} \pm \frac{ 2816}{ 20} \pm \frac{ 3200}{ 20} \pm \frac{ 3520}{ 20} \pm \frac{ 4000}{ 20} \pm \frac{ 4400}{ 20} \pm \frac{ 5500}{ 20} \pm \frac{ 6400}{ 20} \pm \frac{ 7040}{ 20} \pm \frac{ 8000}{ 20} \pm \frac{ 8800}{ 20} \pm \frac{ 11000}{ 20} \pm \frac{ 14080}{ 20} \pm \frac{ 16000}{ 20} \pm \frac{ 17600}{ 20} \pm \frac{ 22000}{ 20} \pm \frac{ 32000}{ 20} \pm \frac{ 35200}{ 20} \pm \frac{ 44000}{ 20} \pm \frac{ 70400}{ 20} \pm \frac{ 88000}{ 20} \pm \frac{ 176000}{ 20} \pm \frac{ 352000}{ 20} ~~ \pm \frac{ 1}{ 40} \pm \frac{ 2}{ 40} \pm \frac{ 4}{ 40} \pm \frac{ 5}{ 40} \pm \frac{ 8}{ 40} \pm \frac{ 10}{ 40} \pm \frac{ 11}{ 40} \pm \frac{ 16}{ 40} \pm \frac{ 20}{ 40} \pm \frac{ 22}{ 40} \pm \frac{ 25}{ 40} \pm \frac{ 32}{ 40} \pm \frac{ 40}{ 40} \pm \frac{ 44}{ 40} \pm \frac{ 50}{ 40} \pm \frac{ 55}{ 40} \pm \frac{ 64}{ 40} \pm \frac{ 80}{ 40} \pm \frac{ 88}{ 40} \pm \frac{ 100}{ 40} \pm \frac{ 110}{ 40} \pm \frac{ 125}{ 40} \pm \frac{ 128}{ 40} \pm \frac{ 160}{ 40} \pm \frac{ 176}{ 40} \pm \frac{ 200}{ 40} \pm \frac{ 220}{ 40} \pm \frac{ 250}{ 40} \pm \frac{ 256}{ 40} \pm \frac{ 275}{ 40} \pm \frac{ 320}{ 40} \pm \frac{ 352}{ 40} \pm \frac{ 400}{ 40} \pm \frac{ 440}{ 40} \pm \frac{ 500}{ 40} \pm \frac{ 550}{ 40} \pm \frac{ 640}{ 40} \pm \frac{ 704}{ 40} \pm \frac{ 800}{ 40} \pm \frac{ 880}{ 40} \pm \frac{ 1000}{ 40} \pm \frac{ 1100}{ 40} \pm \frac{ 1280}{ 40} \pm \frac{ 1375}{ 40} \pm \frac{ 1408}{ 40} \pm \frac{ 1600}{ 40} \pm \frac{ 1760}{ 40} \pm \frac{ 2000}{ 40} \pm \frac{ 2200}{ 40} \pm \frac{ 2750}{ 40} \pm \frac{ 2816}{ 40} \pm \frac{ 3200}{ 40} \pm \frac{ 3520}{ 40} \pm \frac{ 4000}{ 40} \pm \frac{ 4400}{ 40} \pm \frac{ 5500}{ 40} \pm \frac{ 6400}{ 40} \pm \frac{ 7040}{ 40} \pm \frac{ 8000}{ 40} \pm \frac{ 8800}{ 40} \pm \frac{ 11000}{ 40} \pm \frac{ 14080}{ 40} \pm \frac{ 16000}{ 40} \pm \frac{ 17600}{ 40} \pm \frac{ 22000}{ 40} \pm \frac{ 32000}{ 40} \pm \frac{ 35200}{ 40} \pm \frac{ 44000}{ 40} \pm \frac{ 70400}{ 40} \pm \frac{ 88000}{ 40} \pm \frac{ 176000}{ 40} \pm \frac{ 352000}{ 40} ~~ \pm \frac{ 1}{ 80} \pm \frac{ 2}{ 80} \pm \frac{ 4}{ 80} \pm \frac{ 5}{ 80} \pm \frac{ 8}{ 80} \pm \frac{ 10}{ 80} \pm \frac{ 11}{ 80} \pm \frac{ 16}{ 80} \pm \frac{ 20}{ 80} \pm \frac{ 22}{ 80} \pm \frac{ 25}{ 80} \pm \frac{ 32}{ 80} \pm \frac{ 40}{ 80} \pm \frac{ 44}{ 80} \pm \frac{ 50}{ 80} \pm \frac{ 55}{ 80} \pm \frac{ 64}{ 80} \pm \frac{ 80}{ 80} \pm \frac{ 88}{ 80} \pm \frac{ 100}{ 80} \pm \frac{ 110}{ 80} \pm \frac{ 125}{ 80} \pm \frac{ 128}{ 80} \pm \frac{ 160}{ 80} \pm \frac{ 176}{ 80} \pm \frac{ 200}{ 80} \pm \frac{ 220}{ 80} \pm \frac{ 250}{ 80} \pm \frac{ 256}{ 80} \pm \frac{ 275}{ 80} \pm \frac{ 320}{ 80} \pm \frac{ 352}{ 80} \pm \frac{ 400}{ 80} \pm \frac{ 440}{ 80} \pm \frac{ 500}{ 80} \pm \frac{ 550}{ 80} \pm \frac{ 640}{ 80} \pm \frac{ 704}{ 80} \pm \frac{ 800}{ 80} \pm \frac{ 880}{ 80} \pm \frac{ 1000}{ 80} \pm \frac{ 1100}{ 80} \pm \frac{ 1280}{ 80} \pm \frac{ 1375}{ 80} \pm \frac{ 1408}{ 80} \pm \frac{ 1600}{ 80} \pm \frac{ 1760}{ 80} \pm \frac{ 2000}{ 80} \pm \frac{ 2200}{ 80} \pm \frac{ 2750}{ 80} \pm \frac{ 2816}{ 80} \pm \frac{ 3200}{ 80} \pm \frac{ 3520}{ 80} \pm \frac{ 4000}{ 80} \pm \frac{ 4400}{ 80} \pm \frac{ 5500}{ 80} \pm \frac{ 6400}{ 80} \pm \frac{ 7040}{ 80} \pm \frac{ 8000}{ 80} \pm \frac{ 8800}{ 80} \pm \frac{ 11000}{ 80} \pm \frac{ 14080}{ 80} \pm \frac{ 16000}{ 80} \pm \frac{ 17600}{ 80} \pm \frac{ 22000}{ 80} \pm \frac{ 32000}{ 80} \pm \frac{ 35200}{ 80} \pm \frac{ 44000}{ 80} \pm \frac{ 70400}{ 80} \pm \frac{ 88000}{ 80} \pm \frac{ 176000}{ 80} \pm \frac{ 352000}{ 80} ~~ \end{aligned} $$

Substitute the possible roots one by one into the polynomial to find the actual roots. Start first with the whole numbers.

We can see that $ p\left( 4 \right) = 0 $ so $ x = 4 $ is a root of a polynomial $ p(x) $.

To find remaining zeros we use Factor Theorem. This theorem states that if $ \dfrac{p}{q} $ is root of the polynomial then the polynomial can be divided by $ \color{blue}{qx − p} $. In this example we divide polynomial $ p $ by $ \color{blue}{ x-4 }$

$$ \frac{ 80x^7-2030x^6+21600x^5-124500x^4+417960x^3-812430x^2+839800x-352000}{ x-4} = 80x^6-1710x^5+14760x^4-65460x^3+156120x^2-187950x+88000 $$

Step 2:

The next rational root is $ x = 4 $

$$ \frac{ 80x^7-2030x^6+21600x^5-124500x^4+417960x^3-812430x^2+839800x-352000}{ x-4} = 80x^6-1710x^5+14760x^4-65460x^3+156120x^2-187950x+88000 $$

Step 3:

The next rational root is $ x = 5 $

$$ \frac{ 80x^6-1710x^5+14760x^4-65460x^3+156120x^2-187950x+88000}{ x-5} = 80x^5-1310x^4+8210x^3-24410x^2+34070x-17600 $$

Step 4:

The next rational root is $ x = 5 $

$$ \frac{ 80x^5-1310x^4+8210x^3-24410x^2+34070x-17600}{ x-5} = 80x^4-910x^3+3660x^2-6110x+3520 $$

Step 5:

Polynomial $ 80x^4-910x^3+3660x^2-6110x+3520 $ has no rational roots that can be found using Rational Root Test, so the roots were found using quartic formulas.

Polynomial Roots Calculator