Find roots of polynomial $$ p(x) = -120x^7-420x^6+2790x^5+10050x^4-15600x^3-64440x^2+960x+74880 $$

The roots of polynomial $ p(x) $ are:

$$ \begin{aligned}x_1 &= 3\\[1 em]x_2 &= -2\\[1 em]x_3 &= -4\\[1 em]x_4 &= -2\\[1 em]x_5 &= 1.0644\\[1 em]x_6 &= -3.2838\\[1 em]x_7 &= 3.7194 \end{aligned} $$

Step 1:

Use rational root test to find out that the $ \color{blue}{ x = 3 } $ is a root of polynomial $ -120x^7-420x^6+2790x^5+10050x^4-15600x^3-64440x^2+960x+74880 $.

The Rational Root Theorem tells us that if the polynomial has a rational zero then it must be a fraction $ \dfrac{ \color{blue}{p}}{ \color{red}{q} } $, where $ p $ is a factor of the constant term and $ q $ is a factor of the leading coefficient.

The constant term is $ \color{blue}{ 74880 } $, with factors of 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 24, 26, 30, 32, 36, 39, 40, 45, 48, 52, 60, 64, 65, 72, 78, 80, 90, 96, 104, 117, 120, 128, 130, 144, 156, 160, 180, 192, 195, 208, 234, 240, 260, 288, 312, 320, 360, 384, 390, 416, 468, 480, 520, 576, 585, 624, 640, 720, 780, 832, 936, 960, 1040, 1152, 1170, 1248, 1440, 1560, 1664, 1872, 1920, 2080, 2340, 2496, 2880, 3120, 3744, 4160, 4680, 4992, 5760, 6240, 7488, 8320, 9360, 12480, 14976, 18720, 24960, 37440 and 74880.

The leading coefficient is $ \color{red}{ 120 }$, with factors of 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 and 120.

The POSSIBLE zeroes are:

$$ \begin{aligned} \dfrac{\color{blue}{p}}{\color{red}{q}} = & \dfrac{ \text{ factors of 74880 }}{\text{ factors of 120 }} = \pm \dfrac{\text{ ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 20, 24, 26, 30, 32, 36, 39, 40, 45, 48, 52, 60, 64, 65, 72, 78, 80, 90, 96, 104, 117, 120, 128, 130, 144, 156, 160, 180, 192, 195, 208, 234, 240, 260, 288, 312, 320, 360, 384, 390, 416, 468, 480, 520, 576, 585, 624, 640, 720, 780, 832, 936, 960, 1040, 1152, 1170, 1248, 1440, 1560, 1664, 1872, 1920, 2080, 2340, 2496, 2880, 3120, 3744, 4160, 4680, 4992, 5760, 6240, 7488, 8320, 9360, 12480, 14976, 18720, 24960, 37440, 74880 ) }}{\text{ ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120 ) }} = \\[1 em] = & \pm \frac{ 1}{ 1} \pm \frac{ 2}{ 1} \pm \frac{ 3}{ 1} \pm \frac{ 4}{ 1} \pm \frac{ 5}{ 1} \pm \frac{ 6}{ 1} \pm \frac{ 8}{ 1} \pm \frac{ 9}{ 1} \pm \frac{ 10}{ 1} \pm \frac{ 12}{ 1} \pm \frac{ 13}{ 1} \pm \frac{ 15}{ 1} \pm \frac{ 16}{ 1} \pm \frac{ 18}{ 1} \pm \frac{ 20}{ 1} \pm \frac{ 24}{ 1} \pm \frac{ 26}{ 1} \pm \frac{ 30}{ 1} \pm \frac{ 32}{ 1} \pm \frac{ 36}{ 1} \pm \frac{ 39}{ 1} \pm \frac{ 40}{ 1} \pm \frac{ 45}{ 1} \pm \frac{ 48}{ 1} \pm \frac{ 52}{ 1} \pm \frac{ 60}{ 1} \pm \frac{ 64}{ 1} \pm \frac{ 65}{ 1} \pm \frac{ 72}{ 1} \pm \frac{ 78}{ 1} \pm \frac{ 80}{ 1} \pm \frac{ 90}{ 1} \pm \frac{ 96}{ 1} \pm \frac{ 104}{ 1} \pm \frac{ 117}{ 1} \pm \frac{ 120}{ 1} \pm \frac{ 128}{ 1} \pm \frac{ 130}{ 1} \pm \frac{ 144}{ 1} \pm \frac{ 156}{ 1} \pm \frac{ 160}{ 1} \pm \frac{ 180}{ 1} \pm \frac{ 192}{ 1} \pm \frac{ 195}{ 1} \pm \frac{ 208}{ 1} \pm \frac{ 234}{ 1} \pm \frac{ 240}{ 1} \pm \frac{ 260}{ 1} \pm \frac{ 288}{ 1} \pm \frac{ 312}{ 1} \pm \frac{ 320}{ 1} \pm \frac{ 360}{ 1} \pm \frac{ 384}{ 1} \pm \frac{ 390}{ 1} \pm \frac{ 416}{ 1} \pm \frac{ 468}{ 1} \pm \frac{ 480}{ 1} \pm \frac{ 520}{ 1} \pm \frac{ 576}{ 1} \pm \frac{ 585}{ 1} \pm \frac{ 624}{ 1} \pm \frac{ 640}{ 1} \pm \frac{ 720}{ 1} \pm \frac{ 780}{ 1} \pm \frac{ 832}{ 1} \pm \frac{ 936}{ 1} \pm \frac{ 960}{ 1} \pm \frac{ 1040}{ 1} \pm \frac{ 1152}{ 1} \pm \frac{ 1170}{ 1} \pm \frac{ 1248}{ 1} \pm \frac{ 1440}{ 1} \pm \frac{ 1560}{ 1} \pm \frac{ 1664}{ 1} \pm \frac{ 1872}{ 1} \pm \frac{ 1920}{ 1} \pm \frac{ 2080}{ 1} \pm \frac{ 2340}{ 1} \pm \frac{ 2496}{ 1} \pm \frac{ 2880}{ 1} \pm \frac{ 3120}{ 1} \pm \frac{ 3744}{ 1} \pm \frac{ 4160}{ 1} \pm \frac{ 4680}{ 1} \pm \frac{ 4992}{ 1} \pm \frac{ 5760}{ 1} \pm \frac{ 6240}{ 1} \pm \frac{ 7488}{ 1} \pm \frac{ 8320}{ 1} \pm \frac{ 9360}{ 1} \pm \frac{ 12480}{ 1} \pm \frac{ 14976}{ 1} \pm \frac{ 18720}{ 1} \pm \frac{ 24960}{ 1} \pm \frac{ 37440}{ 1} \pm \frac{ 74880}{ 1} ~~ \pm \frac{ 1}{ 2} \pm \frac{ 2}{ 2} \pm \frac{ 3}{ 2} \pm \frac{ 4}{ 2} \pm \frac{ 5}{ 2} \pm \frac{ 6}{ 2} \pm \frac{ 8}{ 2} \pm \frac{ 9}{ 2} \pm \frac{ 10}{ 2} \pm \frac{ 12}{ 2} \pm \frac{ 13}{ 2} \pm \frac{ 15}{ 2} \pm \frac{ 16}{ 2} \pm \frac{ 18}{ 2} \pm \frac{ 20}{ 2} \pm \frac{ 24}{ 2} \pm \frac{ 26}{ 2} \pm \frac{ 30}{ 2} \pm \frac{ 32}{ 2} \pm \frac{ 36}{ 2} \pm \frac{ 39}{ 2} \pm \frac{ 40}{ 2} \pm \frac{ 45}{ 2} \pm \frac{ 48}{ 2} \pm \frac{ 52}{ 2} \pm \frac{ 60}{ 2} \pm \frac{ 64}{ 2} \pm \frac{ 65}{ 2} \pm \frac{ 72}{ 2} \pm \frac{ 78}{ 2} \pm \frac{ 80}{ 2} \pm \frac{ 90}{ 2} \pm \frac{ 96}{ 2} \pm \frac{ 104}{ 2} \pm \frac{ 117}{ 2} \pm \frac{ 120}{ 2} \pm \frac{ 128}{ 2} \pm \frac{ 130}{ 2} \pm \frac{ 144}{ 2} \pm \frac{ 156}{ 2} \pm \frac{ 160}{ 2} \pm \frac{ 180}{ 2} \pm \frac{ 192}{ 2} \pm \frac{ 195}{ 2} \pm \frac{ 208}{ 2} \pm \frac{ 234}{ 2} \pm \frac{ 240}{ 2} \pm \frac{ 260}{ 2} \pm \frac{ 288}{ 2} \pm \frac{ 312}{ 2} \pm \frac{ 320}{ 2} \pm \frac{ 360}{ 2} \pm \frac{ 384}{ 2} \pm \frac{ 390}{ 2} \pm \frac{ 416}{ 2} \pm \frac{ 468}{ 2} \pm \frac{ 480}{ 2} \pm \frac{ 520}{ 2} \pm \frac{ 576}{ 2} \pm \frac{ 585}{ 2} \pm \frac{ 624}{ 2} \pm \frac{ 640}{ 2} \pm \frac{ 720}{ 2} \pm \frac{ 780}{ 2} \pm \frac{ 832}{ 2} \pm \frac{ 936}{ 2} \pm \frac{ 960}{ 2} \pm \frac{ 1040}{ 2} \pm \frac{ 1152}{ 2} \pm \frac{ 1170}{ 2} \pm \frac{ 1248}{ 2} \pm \frac{ 1440}{ 2} \pm \frac{ 1560}{ 2} \pm \frac{ 1664}{ 2} \pm \frac{ 1872}{ 2} \pm \frac{ 1920}{ 2} \pm \frac{ 2080}{ 2} \pm \frac{ 2340}{ 2} \pm \frac{ 2496}{ 2} \pm \frac{ 2880}{ 2} \pm \frac{ 3120}{ 2} \pm \frac{ 3744}{ 2} \pm \frac{ 4160}{ 2} \pm \frac{ 4680}{ 2} \pm \frac{ 4992}{ 2} \pm \frac{ 5760}{ 2} \pm \frac{ 6240}{ 2} \pm \frac{ 7488}{ 2} \pm \frac{ 8320}{ 2} \pm \frac{ 9360}{ 2} \pm \frac{ 12480}{ 2} \pm \frac{ 14976}{ 2} \pm \frac{ 18720}{ 2} \pm \frac{ 24960}{ 2} \pm \frac{ 37440}{ 2} \pm \frac{ 74880}{ 2} ~~ \pm \frac{ 1}{ 3} \pm \frac{ 2}{ 3} \pm \frac{ 3}{ 3} \pm \frac{ 4}{ 3} \pm \frac{ 5}{ 3} \pm \frac{ 6}{ 3} \pm \frac{ 8}{ 3} \pm \frac{ 9}{ 3} \pm \frac{ 10}{ 3} \pm \frac{ 12}{ 3} \pm \frac{ 13}{ 3} \pm \frac{ 15}{ 3} \pm \frac{ 16}{ 3} \pm \frac{ 18}{ 3} \pm \frac{ 20}{ 3} \pm \frac{ 24}{ 3} \pm \frac{ 26}{ 3} \pm \frac{ 30}{ 3} \pm \frac{ 32}{ 3} \pm \frac{ 36}{ 3} \pm \frac{ 39}{ 3} \pm \frac{ 40}{ 3} \pm \frac{ 45}{ 3} \pm \frac{ 48}{ 3} \pm \frac{ 52}{ 3} \pm \frac{ 60}{ 3} \pm \frac{ 64}{ 3} \pm \frac{ 65}{ 3} \pm \frac{ 72}{ 3} \pm \frac{ 78}{ 3} \pm \frac{ 80}{ 3} \pm \frac{ 90}{ 3} \pm \frac{ 96}{ 3} \pm \frac{ 104}{ 3} \pm \frac{ 117}{ 3} \pm \frac{ 120}{ 3} \pm \frac{ 128}{ 3} \pm \frac{ 130}{ 3} \pm \frac{ 144}{ 3} \pm \frac{ 156}{ 3} \pm \frac{ 160}{ 3} \pm \frac{ 180}{ 3} \pm \frac{ 192}{ 3} \pm \frac{ 195}{ 3} \pm \frac{ 208}{ 3} \pm \frac{ 234}{ 3} \pm \frac{ 240}{ 3} \pm \frac{ 260}{ 3} \pm \frac{ 288}{ 3} \pm \frac{ 312}{ 3} \pm \frac{ 320}{ 3} \pm \frac{ 360}{ 3} \pm \frac{ 384}{ 3} \pm \frac{ 390}{ 3} \pm \frac{ 416}{ 3} \pm \frac{ 468}{ 3} \pm \frac{ 480}{ 3} \pm \frac{ 520}{ 3} \pm \frac{ 576}{ 3} \pm \frac{ 585}{ 3} \pm \frac{ 624}{ 3} \pm \frac{ 640}{ 3} \pm \frac{ 720}{ 3} \pm \frac{ 780}{ 3} \pm \frac{ 832}{ 3} \pm \frac{ 936}{ 3} \pm \frac{ 960}{ 3} \pm \frac{ 1040}{ 3} \pm \frac{ 1152}{ 3} \pm \frac{ 1170}{ 3} \pm \frac{ 1248}{ 3} \pm \frac{ 1440}{ 3} \pm \frac{ 1560}{ 3} \pm \frac{ 1664}{ 3} \pm \frac{ 1872}{ 3} \pm \frac{ 1920}{ 3} \pm \frac{ 2080}{ 3} \pm \frac{ 2340}{ 3} \pm \frac{ 2496}{ 3} \pm \frac{ 2880}{ 3} \pm \frac{ 3120}{ 3} \pm \frac{ 3744}{ 3} \pm \frac{ 4160}{ 3} \pm \frac{ 4680}{ 3} \pm \frac{ 4992}{ 3} \pm \frac{ 5760}{ 3} \pm \frac{ 6240}{ 3} \pm \frac{ 7488}{ 3} \pm \frac{ 8320}{ 3} \pm \frac{ 9360}{ 3} \pm \frac{ 12480}{ 3} \pm \frac{ 14976}{ 3} \pm \frac{ 18720}{ 3} \pm \frac{ 24960}{ 3} \pm \frac{ 37440}{ 3} \pm \frac{ 74880}{ 3} ~~ \pm \frac{ 1}{ 4} \pm \frac{ 2}{ 4} \pm \frac{ 3}{ 4} \pm \frac{ 4}{ 4} \pm \frac{ 5}{ 4} \pm \frac{ 6}{ 4} \pm \frac{ 8}{ 4} \pm \frac{ 9}{ 4} \pm \frac{ 10}{ 4} \pm \frac{ 12}{ 4} \pm \frac{ 13}{ 4} \pm \frac{ 15}{ 4} \pm \frac{ 16}{ 4} \pm \frac{ 18}{ 4} \pm \frac{ 20}{ 4} \pm \frac{ 24}{ 4} \pm \frac{ 26}{ 4} \pm \frac{ 30}{ 4} \pm \frac{ 32}{ 4} \pm \frac{ 36}{ 4} \pm \frac{ 39}{ 4} \pm \frac{ 40}{ 4} \pm \frac{ 45}{ 4} \pm \frac{ 48}{ 4} \pm \frac{ 52}{ 4} \pm \frac{ 60}{ 4} \pm \frac{ 64}{ 4} \pm \frac{ 65}{ 4} \pm \frac{ 72}{ 4} \pm \frac{ 78}{ 4} \pm \frac{ 80}{ 4} \pm \frac{ 90}{ 4} \pm \frac{ 96}{ 4} \pm \frac{ 104}{ 4} \pm \frac{ 117}{ 4} \pm \frac{ 120}{ 4} \pm \frac{ 128}{ 4} \pm \frac{ 130}{ 4} \pm \frac{ 144}{ 4} \pm \frac{ 156}{ 4} \pm \frac{ 160}{ 4} \pm \frac{ 180}{ 4} \pm \frac{ 192}{ 4} \pm \frac{ 195}{ 4} \pm \frac{ 208}{ 4} \pm \frac{ 234}{ 4} \pm \frac{ 240}{ 4} \pm \frac{ 260}{ 4} \pm \frac{ 288}{ 4} \pm \frac{ 312}{ 4} \pm \frac{ 320}{ 4} \pm \frac{ 360}{ 4} \pm \frac{ 384}{ 4} \pm \frac{ 390}{ 4} \pm \frac{ 416}{ 4} \pm \frac{ 468}{ 4} \pm \frac{ 480}{ 4} \pm \frac{ 520}{ 4} \pm \frac{ 576}{ 4} \pm \frac{ 585}{ 4} \pm \frac{ 624}{ 4} \pm \frac{ 640}{ 4} \pm \frac{ 720}{ 4} \pm \frac{ 780}{ 4} \pm \frac{ 832}{ 4} \pm \frac{ 936}{ 4} \pm \frac{ 960}{ 4} \pm \frac{ 1040}{ 4} \pm \frac{ 1152}{ 4} \pm \frac{ 1170}{ 4} \pm \frac{ 1248}{ 4} \pm \frac{ 1440}{ 4} \pm \frac{ 1560}{ 4} \pm \frac{ 1664}{ 4} \pm \frac{ 1872}{ 4} \pm \frac{ 1920}{ 4} \pm \frac{ 2080}{ 4} \pm \frac{ 2340}{ 4} \pm \frac{ 2496}{ 4} \pm \frac{ 2880}{ 4} \pm \frac{ 3120}{ 4} \pm \frac{ 3744}{ 4} \pm \frac{ 4160}{ 4} \pm \frac{ 4680}{ 4} \pm \frac{ 4992}{ 4} \pm \frac{ 5760}{ 4} \pm \frac{ 6240}{ 4} \pm \frac{ 7488}{ 4} \pm \frac{ 8320}{ 4} \pm \frac{ 9360}{ 4} \pm \frac{ 12480}{ 4} \pm \frac{ 14976}{ 4} \pm \frac{ 18720}{ 4} \pm \frac{ 24960}{ 4} \pm \frac{ 37440}{ 4} \pm \frac{ 74880}{ 4} ~~ \pm \frac{ 1}{ 5} \pm \frac{ 2}{ 5} \pm \frac{ 3}{ 5} \pm \frac{ 4}{ 5} \pm \frac{ 5}{ 5} \pm \frac{ 6}{ 5} \pm \frac{ 8}{ 5} \pm \frac{ 9}{ 5} \pm \frac{ 10}{ 5} \pm \frac{ 12}{ 5} \pm \frac{ 13}{ 5} \pm \frac{ 15}{ 5} \pm \frac{ 16}{ 5} \pm \frac{ 18}{ 5} \pm \frac{ 20}{ 5} \pm \frac{ 24}{ 5} \pm \frac{ 26}{ 5} \pm \frac{ 30}{ 5} \pm \frac{ 32}{ 5} \pm \frac{ 36}{ 5} \pm \frac{ 39}{ 5} \pm \frac{ 40}{ 5} \pm \frac{ 45}{ 5} \pm \frac{ 48}{ 5} \pm \frac{ 52}{ 5} \pm \frac{ 60}{ 5} \pm \frac{ 64}{ 5} \pm \frac{ 65}{ 5} \pm \frac{ 72}{ 5} \pm \frac{ 78}{ 5} \pm \frac{ 80}{ 5} \pm \frac{ 90}{ 5} \pm \frac{ 96}{ 5} \pm \frac{ 104}{ 5} \pm \frac{ 117}{ 5} \pm \frac{ 120}{ 5} \pm \frac{ 128}{ 5} \pm \frac{ 130}{ 5} \pm \frac{ 144}{ 5} \pm \frac{ 156}{ 5} \pm \frac{ 160}{ 5} \pm \frac{ 180}{ 5} \pm \frac{ 192}{ 5} \pm \frac{ 195}{ 5} \pm \frac{ 208}{ 5} \pm \frac{ 234}{ 5} \pm \frac{ 240}{ 5} \pm \frac{ 260}{ 5} \pm \frac{ 288}{ 5} \pm \frac{ 312}{ 5} \pm \frac{ 320}{ 5} \pm \frac{ 360}{ 5} \pm \frac{ 384}{ 5} \pm \frac{ 390}{ 5} \pm \frac{ 416}{ 5} \pm \frac{ 468}{ 5} \pm \frac{ 480}{ 5} \pm \frac{ 520}{ 5} \pm \frac{ 576}{ 5} \pm \frac{ 585}{ 5} \pm \frac{ 624}{ 5} \pm \frac{ 640}{ 5} \pm \frac{ 720}{ 5} \pm \frac{ 780}{ 5} \pm \frac{ 832}{ 5} \pm \frac{ 936}{ 5} \pm \frac{ 960}{ 5} \pm \frac{ 1040}{ 5} \pm \frac{ 1152}{ 5} \pm \frac{ 1170}{ 5} \pm \frac{ 1248}{ 5} \pm \frac{ 1440}{ 5} \pm \frac{ 1560}{ 5} \pm \frac{ 1664}{ 5} \pm \frac{ 1872}{ 5} \pm \frac{ 1920}{ 5} \pm \frac{ 2080}{ 5} \pm \frac{ 2340}{ 5} \pm \frac{ 2496}{ 5} \pm \frac{ 2880}{ 5} \pm \frac{ 3120}{ 5} \pm \frac{ 3744}{ 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\pm \frac{ 5760}{ 40} \pm \frac{ 6240}{ 40} \pm \frac{ 7488}{ 40} \pm \frac{ 8320}{ 40} \pm \frac{ 9360}{ 40} \pm \frac{ 12480}{ 40} \pm \frac{ 14976}{ 40} \pm \frac{ 18720}{ 40} \pm \frac{ 24960}{ 40} \pm \frac{ 37440}{ 40} \pm \frac{ 74880}{ 40} ~~ \pm \frac{ 1}{ 60} \pm \frac{ 2}{ 60} \pm \frac{ 3}{ 60} \pm \frac{ 4}{ 60} \pm \frac{ 5}{ 60} \pm \frac{ 6}{ 60} \pm \frac{ 8}{ 60} \pm \frac{ 9}{ 60} \pm \frac{ 10}{ 60} \pm \frac{ 12}{ 60} \pm \frac{ 13}{ 60} \pm \frac{ 15}{ 60} \pm \frac{ 16}{ 60} \pm \frac{ 18}{ 60} \pm \frac{ 20}{ 60} \pm \frac{ 24}{ 60} \pm \frac{ 26}{ 60} \pm \frac{ 30}{ 60} \pm \frac{ 32}{ 60} \pm \frac{ 36}{ 60} \pm \frac{ 39}{ 60} \pm \frac{ 40}{ 60} \pm \frac{ 45}{ 60} \pm \frac{ 48}{ 60} \pm \frac{ 52}{ 60} \pm \frac{ 60}{ 60} \pm \frac{ 64}{ 60} \pm \frac{ 65}{ 60} \pm \frac{ 72}{ 60} \pm \frac{ 78}{ 60} \pm \frac{ 80}{ 60} \pm \frac{ 90}{ 60} \pm \frac{ 96}{ 60} \pm \frac{ 104}{ 60} \pm \frac{ 117}{ 60} \pm \frac{ 120}{ 60} \pm \frac{ 128}{ 60} \pm \frac{ 130}{ 60} \pm \frac{ 144}{ 60} \pm \frac{ 156}{ 60} \pm \frac{ 160}{ 60} \pm \frac{ 180}{ 60} \pm \frac{ 192}{ 60} \pm \frac{ 195}{ 60} \pm \frac{ 208}{ 60} \pm \frac{ 234}{ 60} \pm \frac{ 240}{ 60} \pm \frac{ 260}{ 60} \pm \frac{ 288}{ 60} \pm \frac{ 312}{ 60} \pm \frac{ 320}{ 60} \pm \frac{ 360}{ 60} \pm \frac{ 384}{ 60} \pm \frac{ 390}{ 60} \pm \frac{ 416}{ 60} \pm \frac{ 468}{ 60} \pm \frac{ 480}{ 60} \pm \frac{ 520}{ 60} \pm \frac{ 576}{ 60} \pm \frac{ 585}{ 60} \pm \frac{ 624}{ 60} \pm \frac{ 640}{ 60} \pm \frac{ 720}{ 60} \pm \frac{ 780}{ 60} \pm \frac{ 832}{ 60} \pm \frac{ 936}{ 60} \pm \frac{ 960}{ 60} \pm \frac{ 1040}{ 60} \pm \frac{ 1152}{ 60} \pm \frac{ 1170}{ 60} \pm \frac{ 1248}{ 60} \pm \frac{ 1440}{ 60} \pm \frac{ 1560}{ 60} \pm \frac{ 1664}{ 60} \pm \frac{ 1872}{ 60} \pm \frac{ 1920}{ 60} \pm \frac{ 2080}{ 60} \pm \frac{ 2340}{ 60} \pm \frac{ 2496}{ 60} \pm \frac{ 2880}{ 60} \pm \frac{ 3120}{ 60} \pm \frac{ 3744}{ 60} \pm \frac{ 4160}{ 60} \pm \frac{ 4680}{ 60} \pm \frac{ 4992}{ 60} \pm \frac{ 5760}{ 60} \pm \frac{ 6240}{ 60} \pm \frac{ 7488}{ 60} \pm \frac{ 8320}{ 60} \pm \frac{ 9360}{ 60} \pm \frac{ 12480}{ 60} \pm \frac{ 14976}{ 60} \pm \frac{ 18720}{ 60} \pm \frac{ 24960}{ 60} \pm \frac{ 37440}{ 60} \pm \frac{ 74880}{ 60} ~~ \pm \frac{ 1}{ 120} \pm \frac{ 2}{ 120} \pm \frac{ 3}{ 120} \pm \frac{ 4}{ 120} \pm \frac{ 5}{ 120} \pm \frac{ 6}{ 120} \pm \frac{ 8}{ 120} \pm \frac{ 9}{ 120} \pm \frac{ 10}{ 120} \pm \frac{ 12}{ 120} \pm \frac{ 13}{ 120} \pm \frac{ 15}{ 120} \pm \frac{ 16}{ 120} \pm \frac{ 18}{ 120} \pm \frac{ 20}{ 120} \pm \frac{ 24}{ 120} \pm \frac{ 26}{ 120} \pm \frac{ 30}{ 120} \pm \frac{ 32}{ 120} \pm \frac{ 36}{ 120} \pm \frac{ 39}{ 120} \pm \frac{ 40}{ 120} \pm \frac{ 45}{ 120} \pm \frac{ 48}{ 120} \pm \frac{ 52}{ 120} \pm \frac{ 60}{ 120} \pm \frac{ 64}{ 120} \pm \frac{ 65}{ 120} \pm \frac{ 72}{ 120} \pm \frac{ 78}{ 120} \pm \frac{ 80}{ 120} \pm \frac{ 90}{ 120} \pm \frac{ 96}{ 120} \pm \frac{ 104}{ 120} \pm \frac{ 117}{ 120} \pm \frac{ 120}{ 120} \pm \frac{ 128}{ 120} \pm \frac{ 130}{ 120} \pm \frac{ 144}{ 120} \pm \frac{ 156}{ 120} \pm \frac{ 160}{ 120} \pm \frac{ 180}{ 120} \pm \frac{ 192}{ 120} \pm \frac{ 195}{ 120} \pm \frac{ 208}{ 120} \pm \frac{ 234}{ 120} \pm \frac{ 240}{ 120} \pm \frac{ 260}{ 120} \pm \frac{ 288}{ 120} \pm \frac{ 312}{ 120} \pm \frac{ 320}{ 120} \pm \frac{ 360}{ 120} \pm \frac{ 384}{ 120} \pm \frac{ 390}{ 120} \pm \frac{ 416}{ 120} \pm \frac{ 468}{ 120} \pm \frac{ 480}{ 120} \pm \frac{ 520}{ 120} \pm \frac{ 576}{ 120} \pm \frac{ 585}{ 120} \pm \frac{ 624}{ 120} \pm \frac{ 640}{ 120} \pm \frac{ 720}{ 120} \pm \frac{ 780}{ 120} \pm \frac{ 832}{ 120} \pm \frac{ 936}{ 120} \pm \frac{ 960}{ 120} \pm \frac{ 1040}{ 120} \pm \frac{ 1152}{ 120} \pm \frac{ 1170}{ 120} \pm \frac{ 1248}{ 120} \pm \frac{ 1440}{ 120} \pm \frac{ 1560}{ 120} \pm \frac{ 1664}{ 120} \pm \frac{ 1872}{ 120} \pm \frac{ 1920}{ 120} \pm \frac{ 2080}{ 120} \pm \frac{ 2340}{ 120} \pm \frac{ 2496}{ 120} \pm \frac{ 2880}{ 120} \pm \frac{ 3120}{ 120} \pm \frac{ 3744}{ 120} \pm \frac{ 4160}{ 120} \pm \frac{ 4680}{ 120} \pm \frac{ 4992}{ 120} \pm \frac{ 5760}{ 120} \pm \frac{ 6240}{ 120} \pm \frac{ 7488}{ 120} \pm \frac{ 8320}{ 120} \pm \frac{ 9360}{ 120} \pm \frac{ 12480}{ 120} \pm \frac{ 14976}{ 120} \pm \frac{ 18720}{ 120} \pm \frac{ 24960}{ 120} \pm \frac{ 37440}{ 120} \pm \frac{ 74880}{ 120} ~~ \end{aligned} $$

Substitute the possible roots one by one into the polynomial to find the actual roots. Start first with the whole numbers.

We can see that $ p\left( 3 \right) = 0 $ so $ x = 3 $ is a root of a polynomial $ p(x) $.

To find remaining zeros we use Factor Theorem. This theorem states that if $ \dfrac{p}{q} $ is root of the polynomial then the polynomial can be divided by $ \color{blue}{qx − p} $. In this example we divide polynomial $ p $ by $ \color{blue}{ x-3 }$

$$ \frac{ -120x^7-420x^6+2790x^5+10050x^4-15600x^3-64440x^2+960x+74880}{ x-3} = -120x^6-780x^5+450x^4+11400x^3+18600x^2-8640x-24960 $$

Step 2:

The next rational root is $ x = 3 $

$$ \frac{ -120x^7-420x^6+2790x^5+10050x^4-15600x^3-64440x^2+960x+74880}{ x-3} = -120x^6-780x^5+450x^4+11400x^3+18600x^2-8640x-24960 $$

Step 3:

The next rational root is $ x = -2 $

$$ \frac{ -120x^6-780x^5+450x^4+11400x^3+18600x^2-8640x-24960}{ x+2} = -120x^5-540x^4+1530x^3+8340x^2+1920x-12480 $$

Step 4:

The next rational root is $ x = -4 $

$$ \frac{ -120x^5-540x^4+1530x^3+8340x^2+1920x-12480}{ x+4} = -120x^4-60x^3+1770x^2+1260x-3120 $$

Step 5:

The next rational root is $ x = -2 $

$$ \frac{ -120x^4-60x^3+1770x^2+1260x-3120}{ x+2} = -120x^3+180x^2+1410x-1560 $$

Step 6:

Polynomial $ -120x^3+180x^2+1410x-1560 $ has no rational roots that can be found using Rational Root Test, so the roots were found using qubic formulas.

Polynomial Roots Calculator